Reconociendo funciones

 1. y= -〖2x〗^2+x+1

función cuadrática con un coeficiente cuadrático negativo (-2x^2), lo que significa que la función es una parábola con una concavidad hacia abajo.

Para encontrar los puntos de corte con los ejes, igualamos la función a cero y resolvemos para x:

y = -2x^2 + x + 1

0 = -2x^2 + x + 1

Usando la fórmula cuadrática, encontramos que los puntos de corte con el eje x son:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

x = (-1 ± √(1 + 8)) / (-4)

x = (-1 ± √9) / (-4)

x = -0.25 y 1

Para encontrar el punto de corte con el eje y, simplemente establecemos x = 0 en la ecuación:

y = -2(0)^2 + (0) + 1

y = 1

Por lo tanto, los puntos de corte son (-0.25, 0), (1, 0) y (0, 1).

Dominio: R ( Todos los números reales )

Rango: x = -b / 2a

y = f(x) = -2x^2 + x + 1

x = -1 / (2 * -2) = 0.25

y = f(0.25) = -2(0.25)^2 + (0.25) + 1 = 1.0625

Por lo tanto, el rango de la función es (-∞, 1.0625].

2. y=5/(x^2+1)-1

podemos observar que el denominador es una expresión cuadrática en x, lo que sugiere una función racional. La función también tiene un término constante (-1) que se resta al término racional, por lo que podemos decir que es una función racional desplazada verticalmente.

Para encontrar los puntos de corte con los ejes, igualamos la función a cero y resolvemos para x:

y = 5/(x^2 + 1) - 1

0 = 5/(x^2 + 1) - 1

1 = 5/(x^2 + 1)

x^2 + 1 = 5

x^2 = 4

x = ±2

Por lo tanto, los puntos de corte con el eje x son (-2, 0) y (2, 0)

Para encontrar el punto de corte con el eje y, simplemente establecemos x = 0 en la ecuación:

y = 5/(0^2 + 1) - 1

y = 4/5

Por lo tanto, el punto de corte con el eje y es (0, 4/5).

Dominio: R ( Todos los números reales )

Rango: Para encontrar el rango de la función, podemos observar que el término racional en la función está acotado entre 0 y 5, ya que el denominador es siempre mayor o igual que 1. Además, el término constante (-1) desplaza verticalmente la función hacia abajo en una unidad. Por lo tanto, el rango de la función es (-1, 4].

3. y=1/2 x-4

Podemos observar que la función es una línea recta, ya que tiene una pendiente constante de 1/2 y un término constante de -4.

Para encontrar los puntos de corte con los ejes, igualamos la función a cero y resolvemos para x y para y:

Para el eje x:

y = 1/2 x - 4

0 = 1/2 x - 4

4 = 1/2 x

x = 8

Por lo tanto, el punto de corte con el eje x es (8, 0).

Para el eje y:

y = 1/2 x - 4

y = 1/2 (0) - 4

y = -4

Por lo tanto, el punto de corte con el eje y es (0, -4).

Dominio: R ( Todos los números reales )

Rango: R ( Todos los números reales )

4. y=x^2+3

Podemos observar que la función es una parábola hacia arriba, ya que el coeficiente del término cuadrático (x^2) es positivo.

Para encontrar los puntos de corte con los ejes, igualamos la función a cero y resolvemos para x y para y:

Para el eje x:

y = x^2 + 3

0 = x^2 + 3

x^2 = -3

No hay soluciones reales para esta ecuación, lo que significa que la función no tiene puntos de corte con el eje x.

Para el eje y:

y = x^2 + 3

cuando x = 0,

y = 0^2 + 3

y = 3

Por lo tanto, el punto de corte con el eje y es (0, 3).

Dominio: R ( Todos los números reales )

Rango: El rango de la función está dado por todos los valores de y mayores o iguales que el valor mínimo de la función. Como la parábola se abre hacia arriba, el valor mínimo de la función ocurre en el vértice de la parábola. El vértice de la parábola está en (-b/2a, c - b^2/4a), donde a es el coeficiente del término cuadrático, b es el coeficiente del término lineal y c es el término constante. En este caso, a = 1, b = 0 y c = 3, por lo que el vértice está en (0, 3). Por lo tanto, el valor mínimo de la función es 3, y el rango es [3, ∞).

 

5. y= √(9-x^2 )

Podemos observar que la función es una semicircunferencia con centro en el origen (0, 0) y radio 3, ya que el término dentro de la raíz es una expresión que representa el cuadrado de la distancia desde cualquier punto en el plano cartesiano al origen.

Para encontrar los puntos de corte con los ejes, igualamos la función a cero y resolvemos para x y para y:

Para el eje x:

y = √(9 - x^2)

0 = √(9 - x^2)

9 - x^2 = 0

x^2 = 9

x = ±3

Por lo tanto, los puntos de corte con el eje x son (-3, 0) y (3, 0).

Para el eje y:

y = √(9 - x^2)

cuando x = 0,

y = √(9 - 0^2)}

y = 3

Por lo tanto, el punto de corte con el eje y es (0, 3).

Dominio:

el dominio de la función está dado por todos los valores de x tales que el término dentro de la raíz sea no negativo. En este caso, el término dentro de la raíz es 9 - x^2, que es no negativo para -3 ≤ x ≤ 3. Por lo tanto, el dominio de la función es [-3, 3].

Rango: 

El rango de la función está dado por todos los valores de y mayores o iguales que cero (debido a la raíz cuadrada). Como la función es una semicircunferencia con centro en el origen y radio 3, el valor máximo de la función es 3, que ocurre en el punto (0, 3). Por lo tanto, el rango de la función es [0, 3].

 

6. y= -√(x+3)

Podemos observar que la función es una raíz cuadrada negativa que está desplazada 3 unidades hacia la izquierda.

Para encontrar los puntos de corte con los ejes, igualamos la función a cero y resolvemos para x y para y:

Para el eje x:

y = -√(x+3)

0 = -√(x+3)

No hay solución real ya que no podemos obtener una raíz cuadrada negativa igual a cero.

Para el eje y:

y = -√(x+3)

cuando x = -3,

y = -√(-3+3)

y = 0

Por lo tanto, el punto de corte con el eje y es (-3, 0).

Dominio:

El dominio de la función está dado por todos los valores de x tales que el término dentro de la raíz sea no negativo. En este caso, el término dentro de la raíz es x + 3, que es no negativo para x ≥ -3. Por lo tanto, el dominio de la función es [-3, ∞).

Rango:

El rango de la función está dado por todos los valores de y menores o iguales a cero (debido a la raíz cuadrada negativa). Como la función es una raíz cuadrada negativa, el valor máximo de la función es cero, que ocurre en el punto (-3, 0). Por lo tanto, el rango de la función es (-∞, 0].

 

7. y= x^3-x

Podemos observar que la función es un polinomio cúbico.

Para encontrar los puntos de corte con los ejes, igualamos la función a cero y resolvemos para x y para y:

Para el eje x:}

y = x^3 - x

0 = x^3 - x

0 = x(x^2 - 1)

x = 0 o x = ±1

Por lo tanto, los puntos de corte con el eje x son (0, 0), (1, 0) y (-1, 0).

Para el eje y:

y = x^3 - x

cuando x = 0,

y = 0

Por lo tanto, el punto de corte con el eje y es (0, 0).

Dominio: R ( Todos los números reales )

Rango: R ( Todos los números reales )

 

8. y=1/2 x^3+2

Podemos observar que la función es un polinomio cúbico.

Para encontrar los puntos de corte con los ejes, igualamos la función a cero y resolvemos para x y para y:

Para el eje x:

y = (1/2)x^3 + 2

0 = (1/2)x^3 + 2

-4 = (1/2)x^3

x^3 = -8

x = -2

Por lo tanto, el punto de corte con el eje x es (-2, 0).

Para el eje y:

y = (1/2)x^3 + 2

cuando x = 0,

y = 2

Por lo tanto, el punto de corte con el eje y es (0, 2).

El dominio de la función está dado por todos los valores de x, ya que no hay restricciones en la función.

El rango de la función está dado por todos los valores de y. Como se trata de una función polinómica, el rango es (-∞, ∞).

 

9. y=x+√(4-x^2 )

Podemos observar que la función es una función raíz cuadrada sumada a una función lineal.

Para encontrar los puntos de corte con los ejes, igualamos la función a cero y resolvemos para x y para y:

Para el eje x:

y = x + √(4 - x^2)

0 = x + √(4 - x^2)

x = -√(4 - x^2)

x^2 = 4 - x^2

2x^2 = 4

x = ±√2

Por lo tanto, los puntos de corte con el eje x son (√2, 0) y (-√2, 0).

Para el eje y:

y = x + √(4 - x^2)

cuando x = 0,

y = √4 = 2

Por lo tanto, el punto de corte con el eje y es (0, 2).

El dominio de la función está dado por todos los valores de x tales que la expresión dentro de la raíz cuadrada es mayor o igual a cero:

4 - x^2 ≥ 0

x^2 ≤ 4

-2 ≤ x ≤ 2

El rango de la función está dado por todos los valores de y mayores o iguales a 2, ya que la expresión dentro de la raíz cuadrada siempre es positiva y la función lineal aumenta a medida que x aumenta.

10. y=  4/x

Podemos observar que la función es una función racional.

Para encontrar los puntos de corte con los ejes, igualamos la función a cero y resolvemos para x y para y:

Para el eje x:

y = 4/x

0 = 4/x

x = 0

Por lo tanto, el punto de corte con el eje x es (0, 0), aunque en realidad este punto no está definido en la función, ya que no se puede dividir entre cero.

Para el eje y:

y = 4/x

cuando x = 0,

la función no está definida, ya que no se puede dividir entre cero.

Por lo tanto, la función no tiene punto de corte con el eje y.

El dominio de la función está dado por todos los valores de x diferentes de cero, ya que la función no está definida en x = 0.

El rango de la función está dado por todos los valores de y diferentes de cero, ya que la función no está definida en y = 0.